Geboren als Sohn des Opernsängers (Bass) Friedrich Genée besuchte Franz Friedrich Richard Genée, so sein voller Name, in Berlin das Gymnasium. Ebenfalls in Berlin studierte er zunächst Medizin, dann Musik (unter anderem Kompositionsunterricht bei Adolf Stahlknecht). Nachdem sein Vater 1984 die Direktion des Stadttheaters Danzig übernommen hatte, wurde auch Richard dort als Ballettdirigent und zweiter Musikdirektor angestellt. 1948 wechselte er als Kapellmeister nach Reval und Riga, anschließende Engagements führten ihn nach Köln, Düsseldorf und Aachen (1952-53), nach Mainz (1957), an das Prager Landestheater (1964-65), das Hoftheater Schwerin (1862) und an das deutsche Theater in Amsterdam. Ab 1868 war er für ein Jahrzehnt als Kapellmeister am Theater an der Wien in der österreichischen Hauptstadt tätig.

Genée war eng befreundet mit Friedrich von Flotow, der ihn auch nach Schwerin geholt und zwei Einakter aus Genées Feder (Der Musikfeind, Die Generalprobe) dort auf den Spielplan gesetzt hatte. In Wien dann kam es zu einer engen und lang andauernden Zusammenarbeit mit dem Librettisten Franz Zell (eigentlich: Camillo Walzel), mit dem gemeinsam Genée zahlreiche Operetten-Libretti unter anderem für Johann Strauss, Carl Millöcker, Franz von Suppé und Carl Michael Ziehrer schrieb. Zu den bekanntesten Früchten dieser Zusammenarbeit zählen die Operetten Der Bettelstudent, Boccaccio, Gasparone und Eine Nacht in Venedig. Gemeinsam mit Karl Haffner verfasste er das Libretto zum Welterfolg Die Fledermaus.

Die Texte zu seinen eigenen Werken für das Musiktheater verfasste Genée zumeist selbst, darunter auch 1876 die Operette Der Seekadett, die so populär wurde, dass sie sogar in die Kunst des Schachspiels Einzug hielt (Seekadettenmatt).

Die Wintermonate verbrachte Richard Genée zumeist in Berlin, die Sommermonate in Österreich, entweder in Wien oder in seiner Villa in Baden bei Wien, wo er 1895 während eines Erholungsurlaubes verstarb.

Der Name Richard Genées ist heute vorwiegend durch seine Libretti für die bedeutenden Komponisten-Kollegen bekannt, doch würde sich eine Wiederbelebung seiner eigenen Bühnenwerke durchaus lohnen, handelt es sich doch um großartige Zeugnisse der Goldenen Operetten-Ära, die musikalisch denen seiner Zeitgenossen nicht nachstehen.